Question

6．已知等腰三角形的兩邊長分別為方程組$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{5}x+\sqrt{3}y=4}\\{\sqrt{5}x-\sqrt{3}y=1}\end{array}\right.$的兩個根，求這個等腰三角形的面積．

Answer 1

分析 通過解方程組結合三角形的三邊關系可得出等腰三角形的三條邊分別為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$，再利用勾股定理以及等腰三角形的性質可求出底邊上的高，利用三角形的面積公式即可得出結論．

解答 解：方程組$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{5}x+\sqrt{3}y=4}\\{\sqrt{5}x-\sqrt{3}y=1}\end{array}\right.$的解為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
根據三角形的三邊關系可知，等腰三角形的三條邊分別為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
當腰為$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BD=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{5}}{2}$×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{\sqrt{35}}{16}$；
當腰為$\frac{\sqrt{5}}{2}$時，AB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，BD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{17}}{4}$=$\frac{\sqrt{51}}{16}$．
故這個等腰三角形的面積為$\frac{\sqrt{35}}{16}$或$\frac{\sqrt{51}}{16}$．

點評 本題考查了二次根式的應用、解二元一次方程組、等腰三角形的性質、三角形的三邊關系、勾股定理以及三角形的面積，利用三角形的三邊關系確定等腰三角形的三條邊長是解題的關鍵．