Question

15．定義一種新運算：a*b=a+b+ab，則b*a=b+a+ba，而a+b+ab=b+a+ba，即a*b=b*a，所以我們說運算a*b=a+b+ab具有交換律．
（1）下列新運算具有交換律的有D
①a*b=a-b，
②a*b=a+b+1，
③a*b=-a-b，
④a*b=a²b+ab²．
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
（2）證明：運算a*b=a+b+ab具有結合律，即（a*b）*c=a*（b*c）．
（3）計算：（2-$\sqrt{6}$）*（$\sqrt{2}$-2）*（2+$\sqrt{6}$）．

Answer 1

分析 根據題中的新定義化簡所求式子，計算即可得到結果．

解答 解：（1）①a*b=a-b，b*a=b-a，
②a*b=a+b+1，b*a=b+a+1，
∴a*b=b*a，
③a*b=-a-b，b*a=-b-a，
∴a*b=b*a，
④a*b=a²b+ab²，b*a=b²a+ba²，
∴a*b=b*a，
故選D；
（2）（a*b）*c=（a+b+ab）*c=a+b+ab+c+（a+b+ab）c=a+b+c+ab+bc+ac+abc，a*（b*c）=a*（b+c+bc）a+b+c+bc+a（b+c+bc）=a+b+c+ab+bc+ac+abc，
∴（a*b）*c=a*（b*c）；
（3）原式=（$\sqrt{2}$-2）*（2-$\sqrt{6}$）*（2+$\sqrt{6}$）=（$\sqrt{2}$-2）*[（2-$\sqrt{6}$）*（2+$\sqrt{6}$）]=（$\sqrt{2}$-2）*[2-$\sqrt{6}$+2+$\sqrt{6}$+（2-$\sqrt{6}$）（2+$\sqrt{6}$）]=（2-$\sqrt{2}$）*2=$\sqrt{2}$-2+2+2（$\sqrt{2}$-2）=3$\sqrt{2}$-4．

點評 此題考查了有理數的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．