Question

11．如圖，AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．點P在射線AB上以1cm/s的速度由點A出發沿射線AB方向運動，同時，點Q在射線DB上由點D出發沿射線DB方向運動．它們運動的時間為t（s）．
（1）若點Q的運動速度是點P的運動速度的2倍，當t=1時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系；
（2）設點Q的運動速度為xcm/s（x≠2），是否存在實數x，使△ACP與△BPQ全等？若存在，請畫出示意圖，將全等的三角形用符號表示出來，并直接寫出相應的x，t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據Q和P的運動速度結合時間可得AP=1cm，DQ=2cm，進而可得BP=3，BQ=1，然后利用SAS判定△CAP≌△PBQ，根據全等三角形的性質可得∠APC=∠BQA，然后再根據直角三角形的性質可推出∠APC+∠QPB=90°，進而可得CP⊥PQ；
（2）此題要分3種情況分別討論，①若點P在AB上，點Q在BN上，②若點P在BM上，點Q在BN上．

解答 （1）V_Q=2V_P=2m/s，
∵t=1s，
∴AP=1cm，DQ=2cm，
∴BP=AB-AP=3cm，BQ=BD-DQ=1cm，
在△CAP和△PBQ中$\left\{\begin{array}{l}{AC=BP}\\{∠A=∠PBQ=90°}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△CAP≌△PBQ（SAS），
∴∠APC=∠BQA，
∵∠BQP+∠QPB=90°，
∴∠APC+∠QPB=90°，
∴∠CPQ=180°-90°=90°，
∴CP⊥PQ；

（2）若點P在AB上，點Q在BN上，
且△APC≌△BPQ，
如圖 1，t=2，x=3，

若點P在AB上，點Q在BN上，
且△APC≌△BQP；

如圖2：t=1，x=4，△APC≌△BQP；

如圖3，若點P在BM上，點Q在BN上，t=7，x=$\frac{10}{7}$，△APC≌△BQP；
．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．