Question

10．如圖，平行四邊形ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC，垂足為F，AF交BD于E，若DE=2AB，求∠AED的度數．

Answer 1

分析 由DE=2AB，可作輔助線：取DE中點M，連接AM，根據平行四邊形的對邊平行，易得△ADE是直角三角形，由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，即可得△ADM，△AME，△AMB是等腰三角形，想辦法證明∠ABE=2∠DBC，即可解決問題．

解答 解：如圖，取DE的中點M，連接AM．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADM，
∵AF⊥BC，
∴AD⊥AF，
∴∠EAD=90°，
∵EM=DM，
∴AM=DM=EM，
∵DE=2AB，
∴AB=AM，
∴∠ABM=∠AMB=∠MAD+∠ADM，
∵MA=MD，
∴∠ADM=∠MAD=∠DBC，
∴∠ABM=∠AMB=2∠ADM=2∠DBC，
∴3∠DBC=75°，
∴∠DBC=25°，
∵∠EFB=90°，
∴∠AED=∠FEB=90°-∠EBF=65°．

點評 此題考查了直角三角形的性質（直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半）、平行四邊形的性質（平行四邊形的對邊平行）以及等腰三角形的性質（等邊對等角），解題的關鍵是注意方程思想的應用．