Question

16．進(jìn)位數(shù)是一種記數(shù)方式，可以用有限的數(shù)字符號(hào)代表所有的數(shù)值，使用數(shù)字符號(hào)的數(shù)目稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進(jìn)制，現(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字0～9進(jìn)行記數(shù)，特點(diǎn)是逢十進(jìn)一，對(duì)于任意一個(gè)用n（n≤10）進(jìn)制表示的數(shù)，通常使用n個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字0～（n-1）進(jìn)行記數(shù)，特點(diǎn)是逢n進(jìn)一，我們可以通過(guò)以下方式把它轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制：
例如：五進(jìn)制數(shù)（234）₅=2×5²+3×5+4=69，記作（234）₅=69，
七進(jìn)制數(shù)（136）₇=1×7²+3×7+6=76，記作（136）₇=76．
（1）請(qǐng)將以下兩個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制：（331）₅=91，（46）₇=34
（2）若一個(gè)正數(shù)可以用七進(jìn)制表示為（$\overline{abc}$）₇，也可以用五進(jìn)制表示為（$\overline{cba}$）₅，請(qǐng)求出這個(gè)數(shù)并用十進(jìn)制表示．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)進(jìn)制的計(jì)算規(guī)則列式計(jì)算即可得；
（2）由題意得出7²a+7b+c=5²c+5b+a，即24a+b=12c，結(jié)合1≤a≤9，0≤b≤9，1≤c≤9，且a、b、c均為整數(shù)得出a、b、c的值，表示成十進(jìn)制即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意知，（331）₅=3×5²+3×5+1=91，（46）₇=4×7+6=34，
故答案為：91，34；

（2）根據(jù)題意得：7²a+7b+c=5²c+5b+a，
整理得24a+b=12c，
∵1≤a≤9，0≤b≤9，1≤c≤9，且a、b、c均為整數(shù)，
∴a=1、b=0、c=2，此數(shù)用十進(jìn)制表示為102；
a=2、b=0、c=4，此數(shù)用十進(jìn)制表示為204；
a=3、b=0、c=6時(shí)，此數(shù)用十進(jìn)制表示為306；
a=4、b=0、c=8時(shí)，此數(shù)用十進(jìn)制表示為408．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算和進(jìn)制計(jì)算規(guī)則，根據(jù)題意弄清進(jìn)制的計(jì)算規(guī)則是解題的根本，由題意列出a、b、c的等式結(jié)合其范圍得出具體數(shù)值是解題的關(guān)鍵．