Question

7．已知反比例函數y=$\frac{6}{x}$．
（1）若該反比例函數的圖象與直線y=-x+a（a＞0）有兩個不同交點，求a的取值范圍；
（2）如圖，在（1）條件下，若直線y=-x+a（a＞0）與反比例函數的圖象交于A、B兩點，求證：A、B關于直線y=x的對稱．

Answer 1

分析 （1）根據題意可得$\frac{6}{x}$=-x+a，則x²-ax+6=0，利用根的判別式求解；
（2）求得反比例函數與y=-x+a組成的方程組，求得A和B的坐標即可作出判斷．

解答 解：（1）根據題意得$\frac{6}{x}$=-x+a，則x²-ax+6=0，
△=a²-24＞0，
解得-2$\sqrt{6}$＜a＜2$\sqrt{6}$，
又∵a＞0，
∴a的取值范圍是0＜a＜2$\sqrt{6}$；

（2）根據題意得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}}\\{y=-x+a}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-24}}{2}}\\{y=\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-24}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-24}}{2}}\\{y=\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-24}}{2}}\end{array}\right.$，
則A的坐標是（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-24}}{2}$，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-24}}{2}$），B的坐標是（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-24}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-24}}{2}$）．
則AB關于直線y=x對稱．

點評 本題考查了一次函數與反比例函數的交點坐標，正確解方程組求得A和B的坐標是關鍵．