Question

3．如圖所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB為直徑的圓交BC于D，則圖形陰影部分的面積為1．

Answer 1

分析 連接OD，AD，由題意知，△ABC是等腰直角三角形，根據直徑對的圓周角是直角知，∠ADB=90°，即AD是等腰直角三角形斜邊BC上的高，由等腰三角形的性質：底邊上的高與底邊上的中線重合知，點D是BC的中點，由于點O是AB的中點，則OD是△ABC的AC邊對的中位線，有OD∥AC，則點D也是半圓ADB的中點，則弓形BD與弓形AD的面積相等，所以陰影部分的面積等于△ACD的面積．

解答 解：連接OD，AD．

∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴△ABC是等腰直角三角形，有∠B=∠C=45°，
∵∠ADB=90°，
∴AD是等腰直角三角形斜邊BC上的高，則點D是BC的中點，
∴OD是△ABC的AC邊對的中位線，OD∥AC，
∴點D也是半圓ADB的中點，則弓形BD與弓形AD的面積相等，所以陰影部分的面積等于△ACD的面積．
∵△ACD是等腰直角三角形，則AD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\sqrt{2}$，
∴S_陰影=S_△ACD=$\frac{1}{2}$CD•AD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1，
故答案為：1．

點評 本題利用了等腰直角三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形的中位線的判定和性質，直徑對的圓周角是直角，等腰直角三角形的面積公式求解．