Question

15．如圖，己知射線OM與射線ON互相垂直，A是直徑PQ為2cm的半圓鐵片上一點，且弧AQ的度數為60°，（即弧AQ所對的圓心角為60°）動點P從點O沿射線OM開始滑動，同時動點Q在ON上滑動，當點Q滑至點O停止時，點A所經過的路程是（　　）

• A． 3
• B． 3-$\sqrt{3}$
• C． 3+$\sqrt{3}$
• D． 6-2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意，PQ滑動過程中，PQ=2，∠QOA=30°，所以點A在射線OA上運動，起始位置時OA=$\sqrt{3}$，當P′Q′的中點在直線OA上時，OA′最長，此時OA′=2，TC AA′=2-$\sqrt{3}$，當點Q″與O重合時，OA″最小，此時OA″=1，所以點A的運動路徑為A→A′→A→A″，由此求出AA′+A′A″即可解決問題．

解答 解：如圖，

由題意，PQ滑動過程中，PQ=2，∠QOA=30°，所以點A在射線OA上運動，
起始位置時OA=$\sqrt{3}$，當P′Q′的中點在直線OA上時，OA′最長，此時OA′=2，
∴AA′=2-$\sqrt{3}$，
當點Q″與O重合時，OA″最小，此時OA″=1，
點A的運動路徑為A→A′→A→A″，
∴點A所經過的路程=2-$\sqrt{3}$+（2-1）=3-$\sqrt{3}$，
故選B．

點評 本題考查軌跡，圓心角、弦、弧之間的關系等知識，解題的關鍵是發現∠AOQ=30°，求出OA的最大值以及最小值，題目比較難，所以中考選擇題中的壓軸題．