Question

10．如圖，AC=BC，點0為AB的中點，AC⊥BC，∠MON=45°，求證：CN+MN=AM．

Answer 1

分析 連接CO，在線段AM上截取AQ=CN，連接OQ，由O為CA、CB的垂直平分線的交點，根據線段垂直平分線的性質得到OA=OB=OC，又AC=BC得到∠A=∠B=45°，再根據三線合一的性質得到CO與AB垂直且CO為頂角的平分線，由∠A和∠B求出∠ACB為直角，得到∠OCB也為45°，由SAS得到△AOQ與△CON全等，由全等三角形的性質得出OQ=ON，∠AOQ=∠CON，等量代換得到∠QON為直角，又∠MON為45°，所以∠QOM也為45°，得兩角相等，然后由OQ=ON，求出的兩角相等，OM為公共邊，利用SAS得到△OQM與△MON全等，根據全等三角形的對應邊相等得到QM=MN，由AM=AQ+QM，等量代換即可得證；

解答 證明：連接OC，在AM上截取AQ=CN，連接OQ，如圖所示：
∵AC=BC，點O為AB的中點，AC⊥BC，
∴OC=OA=OB，
∵AC=BC，∴OC⊥AB，CO平分∠ACB，
∴∠A=∠B=45°，即∠ACB=90°，
∴∠OCN=45°，即∠OCN=∠A=45°，
在△AOQ和△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{AQ=CN}&{\;}\\{∠A=∠OCN}&{\;}\\{AO=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOQ≌△CON（SAS），
∴OQ=ON，∠AOQ=∠CON，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠AOQ+∠COQ=90°，
∴∠CON+∠COQ=90°，
即∠QON=90°，
又∠MON=45°，
∴∠QOM=45°，
在△QOM和△NOM中，$\left\{\begin{array}{l}{OQ=ON}&{\;}\\{∠MON=∠QOM}&{\;}\\{OM=OM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△QOM≌△NOM（SAS），
∴QM=NM，
∴CN+MN=AQ+QM=AM．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質；線段的和、差、倍、分問題通常情況下先在較長的線段上截取一段與其中一條線段相等，然后構造全等三角形證明剩下的線段與另一條線段相等，本題的突破點是截取出AQ=CN，構造全等三角形，證明QM=NM．