Question

5．已知如圖：△ABC和△DEC都是等邊三角形，D是BC延長線上一點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，AC、BE相交于點(diǎn)M，AD、CE相交于點(diǎn)N，則下列五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②AN=BM；③∠APM=60°；④△CMN是等邊三角形；⑤MN∥BD；⑥PC平分∠BPD，其中，正確的是①②③④⑤⑥（填寫序號）

Answer 1

分析 ①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，則∠ACE=60°，利用“SAS”可判斷△ACD≌△BCE，則AD=BE；
②由△ACD≌△BCE得到∠CAD=∠CBE，然后根據(jù)“ASA”判斷△ACN≌△BCM，所以AN=BM；
③根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠CAD+∠CDA=60°，而∠CAD=∠CBE，則∠CBE+∠CDA=60°，然后再利用三角形內(nèi)角和定理即可得到∠BPD=120°，即可得到結(jié)論；
④由△ACN≌△BCM得到CN=BM，加上∠MCN=60°，則根據(jù)等邊三角形的判定即可得到△CMN為等邊三角形；
⑤由△CMN為等邊三角形得到∠CMN=60°，所以∠CMN=∠BCM，于是根據(jù)平行線的判定即可得到MN∥BC；
⑥作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如圖，由△ACD≌△BCE得到CQ=CH，于是根據(jù)角平分線的判定定理即可得到CP平分∠BPD．

解答 證明：①∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACE=60°，
∴∠ACD=∠BCE=120°，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ACN和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACN=∠BCM}\\{CA=CB}\\{∠CAN=∠CBM}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴AN=BM；
③∵∠CAD+∠CDA=60°，
而∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE+∠CDA=60°，
∴∠BPD=120°，
∴∠APM=60°；
④∵△ACN≌△BCM，
∴CN=BM，
而∠MCN=60°，
∴△CMN為等邊三角形；
⑤∵△CMN為等邊三角形；
∴∠CMN=60°，
∴∠CMN=∠BCM，
∴MN∥BC；
⑥作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如圖，
∵△ACD≌△BCE，
∴CQ=CH，
∴CP平分∠BPD．
故答案為：①②③④⑤⑥．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．