Question

3．已知：如圖，半徑都是5cm的兩等圓⊙O₁和⊙O₂相交于點A，B，過A作⊙O₁的直徑AC與⊙O₂交于點D，且AD：DC=3：2，E為DC的中點．
（1）求證：AC⊥BE；
（2）求AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件得到AD=6，DC=4，由E為DC的中點．得到DE=EC=2，AD=6作O₂F⊥AB于F點，則AF=FD=3，FE=FD+DE=3+2=5，推出四邊形AO₁O₂B是菱形．根據菱形的性質得到O₂B∥AC∥FE，推出O₂BEF是矩形．于是得到AC⊥BE；
（2）根據勾股定理即可得到結論．

解答 解：（1）∵兩等圓的半徑為5，
∴AC=10，
∵AD：DC=3：2，
∴令AD=3a，DC=2a，
∵AD+DC=AC=10，
∴a=2，
∴AD=6，DC=4，
∵E為DC的中點．
∴DE=EC=2，AD=6
作O₂F⊥AB于F點，則AF=FD=3，FE=FD+DE=3+2=5，
∵AO₁=AO₂=BO₁=BO₂=5．
∴四邊形AO₁O₂B是菱形．
∴O₂B∥AC∥FE，
又知FE=5=O₂B，
∴O₂BEF是平行四邊形，
而O₂F⊥AB于F點，∴O₂BEF是矩形．
∴AC⊥BE；
（2）∵O₁B=5，AE=AD+DE=8，
∴O₁E=AE-5=3，
∴BE=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了相交兩圓的性質，菱形的判定和性質，就行的判定和性質，勾股定理，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．