Question

11．若⊙O為△ABC的內切圓，∠C=90°，AO的延長線交BC于點K，AC=4，CK=1，求內切圓的半徑．

Answer 1

分析 連結OE、OD，根據切線的性質得OE⊥BC，OD⊥AC，則可證明四邊形OECD為正方形，則OE=CE=r，然后證明△KOE∽△KAC，利用相似比可計算出r．

解答 解：連結OE、OD，
∵⊙O為△ABC的內切圓，
∴OE⊥BC，OD⊥AC，
而∠C=90°，
∴四邊形OECD為正方形，
∴OE=CE=r，
∵OE∥AC，
∴△KOE∽△KAC，
∴$\frac{KE}{KC}$=$\frac{OE}{AC}$，即$\frac{1-r}{1}$=$\frac{r}{4}$，
解得，r=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了三角形的內切圓與內心，與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．也考查了相似三角形的判定與性質．