Question

14．在平面直角坐標系xOy中，對于點P和⊙O給出如下定義：若⊙O上存在兩個點A、B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙O的關聯點．
已知點M（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），N（-2，0），E（0，-4），F（2$\sqrt{3}$，0）．
（1）當⊙O的半徑為1時，①在點M，N，E，F中，⊙O的關聯點是M，E；
②過點F作直線l交y軸正半軸于點G，使∠GFO=30°，若直線l上的點P（m，n）是⊙O的關聯點，求n的取值范圍；
（2）若線段EF上的所有點都是半徑為r的⊙O的關聯點，求半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若點P剛好是⊙O的關聯點，則點P到⊙O的兩條切線PA與PB之間的夾角為60°，此時OP=2r，進而得到：若點P是⊙O的關聯點，則需點P到圓心O的距離d滿足0≤d≤2r．
①由于OM＜2，OE=2，OF＞2，因此點M、E是⊙O的關聯點；②只需考慮點F剛好是⊙O的關聯點時所對應的m的值，就可得到m的取值范圍．
（2）由于線段EF任意一點到點O的距離都小于等于OF，因此要使線段EF上的所有點都是⊙O的關聯點，只需OF≤2r即可，由OF=2 $\sqrt{3}$即可得到⊙O的半徑r的取值范圍．

解答 解：（1）由題可知：若點P剛好是⊙O的關聯點，則點P到⊙O的兩條切線PA與PB之間的夾角為60°，如圖1，
∵PA、PB與⊙O分別相切于點A、B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°．
∴OP=2OA．
設⊙O的半徑為r，則點P剛好是⊙O的關聯點時OP=2r．
所以若點P是⊙O的關聯點，則需點P到圓心O的距離d滿足0≤d≤2r．
①過點M作MC⊥x軸，垂足為C，連接OM，如圖2，
∵點M（ $\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴OC=MC=$\frac{1}{2}$．
∴OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵0＜OM＜2，OE=2，OF＞2，
∴點M、點E是⊙O的關聯點，點F不是⊙O的關聯點．
故答案為M、E；
②過點O作OH⊥GF，垂足為H，如圖3，

則有OH=$\frac{1}{2}$OF=$\sqrt{3}$．
當點P剛好是⊙O的關聯點時，OP=2．
∵OH＜OP，
∴點P剛好是⊙O的關聯點的位置有兩個，記為P₁、P₂．
在Rt△GOF中，tan∠GFO=$\frac{OG}{OF}$=$\frac{OG}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：OG=2．
所以點P₁與點G重合，此時m=0，n=2，
過點P₂作P₂M⊥x軸，垂足為M，
∵∠OGF=90°-30°=60°，OP₁=OP₂，
∴∠OP₂P₁=∠OP₁P₂=∠OGP₂=60°．
∴∠P₂OF=30°．
∴cos∠P₂OM=$\frac{OM}{O{P}_{2}}$=$\frac{OM}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴OM=$\sqrt{3}$，此時m=$\sqrt{3}$．n=1，
∵直線l上的點P（m，n）是⊙O的關聯點，
∴點P在線段P₁P₂（即GP₂）上，
∴n的范圍是1≤n≤2；

（2）由于線段EF任意一點到點O的距離都小于等于OF，
因此要使線段EF上的所有點都是⊙O的關聯點，只需OF≤2r，即2 $\sqrt{3}$≤2r，
則有r≥$\sqrt{3}$．
∴⊙O的半徑r的取值范圍是r≥$\sqrt{3}$．

點評 本題通過新定義，考查了切線的性質、切線長定理、銳角三角函數的定義、等腰三角形的性質、三角形的外角性質、特殊角的三角函數值、勾股定理、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，考查了閱讀理解能力及分析問題解決問題的能力，是一道好題．