Question

4．如圖，O是△ABC的三條角平分線的交點，過點O作AO的垂線交AB于點D，求證：△OBD∽△CBO．

Answer 1

分析 根據三角形內心的性質得∠1=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠2=∠4，∠3=$\frac{1}{2}$∠ACB，則利用三角形內角和定理得到∠1+∠2+∠3=90°，則∠BOC=180°-（∠2+∠3）=90°+∠1，再根據三角形外角性質得∠BDO=∠DOA+∠1，于是得到∠BDO=∠BOC，然后根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似可判斷△OBD∽△CBO．

解答 證明：如圖，
∵O是△ABC的三條角平分線的交點，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠2=∠4，∠3=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1+∠2+∠3=90°，
即∠2+∠3=90°-∠1，
而∠BOC=180°-（∠2+∠3）=90°+∠1，
∵∠BDO=∠DOA+∠1，
而AO⊥OD，
∴∠DOA=90°，
∴∠BDO=∠BOC，
而∠4=∠2，
∴△OBD∽△CBO．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．也考查了三角形的內心的性質．