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12.如圖,一次函數y=ax-2(a≠0)的圖象與反比例函數y=$\frac{k}{x}$(k≠0)的圖象交于第二象限的點,且與x軸、y軸分別交于點C、D.已知tan∠AOC=$\frac{1}{3}$,AO=$\sqrt{10}$.
(1)求這個一次函數和反比例函數的解析式;
(2)若點F是點D關于x軸的對稱點,求△ABF的面積.

分析 (1)先過點A作AE⊥x軸于E,構造Rt△AOE,再根據tan∠AOC=$\frac{1}{3}$,AO=$\sqrt{10}$,求得AE=1,OE=3,即可得出A(-3,1),進而運用待定系數法,求得一次函數和反比例函數的解析式;
(2)先點F是點D關于x軸的對稱點,求得F(0,2),再根據解方程組求得B(1,-3),最后根據△ABF的面積=△ADF面積+△BDF面積,進行計算即可.

解答 解:(1)過點A作AE⊥x軸于E,
∵tan∠AOC=$\frac{1}{3}$,AO=$\sqrt{10}$,
∴Rt△AOE中,AE=1,OE=3,
∵點A在第二象限,
∴A(-3,1),
∵反比例函數y=$\frac{k}{x}$(k≠0)的圖象過點A,
∴k=-3×1=-3,
∴反比例函數的解析式為y=-$\frac{3}{x}$,
∵一次函數y=ax-2(a≠0)的圖象過點A,
∴1=-3a-2,
解得a=-1,
∴一次函數的解析式為y=-x-2;

(2)一次函數的解析式y=-x-2中,令x=0,則y=-2,
∴D(0,-2),
∵點F是點D關于x軸的對稱點,
∴F(0,2),
∴DF=2+2=4,
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-2}\\{y=-\frac{3}{x}}\end{array}\right.$,可得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-3}\end{array}\right.$,
∴B(1,-3),
∵△ADF面積=$\frac{1}{2}$×DF×CE=6,
△BDF面積=$\frac{1}{2}$×DF×|xB|=2,
∴△ABF的面積=△ADF面積+△BDF面積=6+2=8.

點評 本題主要考查了反比例函數與一次函數交點問題,解決問題的關鍵是運用待定系數法求得一次函數和反比例函數的解析式.解題時注意:求正比例函數,只要一對x,y的值就可以;而求一次函數y=kx+b,則需要兩組x,y的值.

練習冊系列答案
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