Question

9．如圖，O為Rt△ABC的直角邊AC上一點，以O(shè)C為半徑的半圓與斜邊AB相切于點D，交AC于點E，已知AB=5，AC=4，求BD的長和⊙O的半徑．

Answer 1

分析 在直角△ABC中利用勾股定理求得BC的長，然后證明BC是切線，利用切線長定理求得BD的長，然后連接OD，證明△OAD∽△BAC，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等求解．

解答 解：在直角△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴BC是半圓的切線，
又∵AB與半圓相切，
∴BD=BC=3，AD=AB-BD=5-3=2．
連接OD．
∵AB是切線，
∴OD⊥AB，
∴∠ODA=∠BCA，
又∵∠A=∠A，
∴△OAD∽△BAC，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{OD}{3}$=$\frac{2}{4}$，
解得OD=$\frac{3}{2}$．即半徑長是$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了勾股定理、切線的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確證明△OAD∽△BAC是關(guān)鍵．