Question

9．預備知識：（1）線段中點坐標公式：在平面直角坐標系中，已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設點M為線段AB的中點，則點M的坐標為（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}{+y}_{2}}{2}$）．
①設A（1，2），B（5，0），點M為線段AB的中點，則點M的坐標為（3，1）．
②設線段CD的中點為點N，其坐標為（3，2），若端點C的坐標為（7，3），則端點D的坐標為（-1，-1）．
（2）如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，點E為DC的中點，連結AE并延長交BC的延長線于點F．求證：S_{四邊形ABCD}=S_△ABF．（S表示面積）

問題探究：如圖2，在已知銳角∠AOB內有一定點P，過點P任意作一條直MN，分別交射線OA，OB于點M、N將直線MN繞著點P旋轉的過程中發現，△MON的面積存在最小值，請問當直線MN在什么位置時，△MON的面積最小，并說明理由．
結論應用：如圖3，在平面直角坐標系xoy中，已知點A在x軸上，點B在第一象限，且OA=3、AB=4、OB=5，若點P的坐標為（2，1），過點P的直線l分別交OB、AB于點M、N，求三角形BMN面積的最小值．

Answer 1

分析 預備知識：（1）根據線段的中點坐標公式即可得到結論；
（2）根據可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S_△ADE=S_△FCE就可以得出結論；
問題探究：根據問題情境的結論可以得出當直線旋轉到點P是MN的中點時S△MON最小，過點M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性質可以得出結論；
結論應用：如圖3，由問題探究當點P是MN的中點時S_△MBN最小，根據勾股定理的逆定理得到∠OAB=90°，求得AB⊥x軸，得到N點的橫坐標為3，設M（a，b），根據線段的中點坐標公式得到a=1，過M作MC⊥OA于C，根據相似三角形的性質得到CM=$\frac{4}{3}$，得到AN=$\frac{2}{3}$，于是得到結論．

解答 解：預備知識：（1）①∵A（1，2），B（5，0），點M為線段AB的中點，
∴M（$\frac{1+5}{2}$，$\frac{2+0}{2}$），即M（3，1），
故答案為：（3，1）；
②設D（x，y），
由中點坐標公式得：$\frac{7+x}{2}$=3，$\frac{3+y}{2}$=2，
∴x=-1，y=-1，
∴D（-1，-1）；
故答案為：（-1，-1）；

（2）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠FCE，
在△ADE與△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=FCE}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE，
∴S_△ADE=S_△FCE，
∴S_{四邊形ABCD}=S_{四邊形ABCE}+S_△ADE=S_{四邊形ABCE}+S_△FCE=S_△ABF；

問題探究：
當直線旋轉到點P是MN的中點時S_△MON最小，
如圖2，過點P的另一條直線EF交OA、OB于點E、F，設PF＜PE，過點M作MG∥OB交EF于G，
由預備知識（2）可以得出當P是MN的中點時S_{四邊形MOFG}=S_△MON．                 
∵S_{四邊形MOFG}＜S_△EOF，
∴S_△MON＜S_△EOF，
∴當點P是MN的中點時S_△MON最小；

結論應用：如圖3，由問題探究當點P是MN的中點時S_△MBN最小，
∵OA=3、AB=4、OB=5，
∴OA²+AB²=OB²，
∴∠OAB=90°，
∴AB⊥x軸，
∴N點的橫坐標為3，
設M（a，b），
∵點P的坐標為（2，1），
∴$\frac{a+3}{2}$=2，
∴a=1，
過M作MC⊥OA于C，
∴OC=1，
∴MC∥AB，
∴△OCM∽△OAB，
∴$\frac{CM}{AB}=\frac{OC}{OA}$，即$\frac{CM}{4}=\frac{1}{3}$，
∴CM=$\frac{4}{3}$，
∵$\frac{CM+AN}{2}$=$\frac{2}{3}$，
∴AN=$\frac{2}{3}$，
∴S_△MBN=S_{四邊形ABMC}-S_{四邊形ANMC}=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{3}$+4）×（3-1）-$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{3}$）×（3-1）=$\frac{10}{3}$，
∴三角形BMN面積的最小值是$\frac{10}{3}$．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了由特殊到一般的數學思想的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的逆定理的運用，四邊形的面積公式的運用，三角形的面積公式的運用，解答時建立數學模型解答是關鍵．