Question

19．如圖，四邊形ABCD是菱形，點M、N分別在AB、AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB，點F、G分別在BC、CD上，MG與NF相交于點E．求證：
（1）四邊形AMEN是菱形；
（2）四邊形EFCG是菱形．

Answer 1

分析 （1）由MG∥AD，NF∥AB，可證得四邊形AMEN是平行四邊形，又由四邊形ABCD是菱形，BM=DN，可得AM=AN，即可證得四邊形AMEN是菱形；
（2）先證明四邊形EFCG是平行四邊形，再證出CF=CG，即可得出四邊形EFCG是菱形．

解答 證明：（1）∵MG∥AD，NF∥AB，
∴四邊形AMEN是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵BM=DN，
∴AB-BM=AD-DN，
∴AM=AN，
∴四邊形AMEN是菱形；
（2）同（1）得：四邊形BCGM、四邊形CDNF是平行四邊形，
∴MG∥BC，NF∥CD，BM=CG，DN=CF，
∴四邊形EFCG是平行四邊形，
∵BM=DN，
∴CF=CG，
∴四邊形EFCG是菱形．

點評 此題考查了菱形的性質與判定、平行四邊形的判定．證得四邊形AMEN是菱形與四邊形EFCG是菱形是關鍵．