Question

13．在同一直線上的三點A、B、C，若滿足點C到另兩個點A、B的距離之比是2，則我們就稱點C是其余兩點的亮點（或暗點）．
具體地，（1）當點C在線段AB上時，若$\frac{CA}{CB}$=2，則稱點C是【A，B】的亮點；若$\frac{CB}{CA}$=2，則稱點C是【B，A】的亮點；（2）當點C在線段AB的延長線上時，若$\frac{CA}{CB}$=2，稱點C是【A，B】的暗點．
例如：如圖1，數軸上，點A、B、C、D分別表示數-1、2、1、0，則點C是【A，B】的亮點，又是【A，D】的暗點；點D是【B，A】的亮點，又是【B，C】的暗點．

（1）如圖2，M、N為數軸上兩點，點M所表示的數為-2，點N所表示的數為4．

【M，N】的亮點表示的數是2；【N，M】的亮點表示的數是0；
【M，N】的暗點表示的數是10；【N，M】的暗點表示的數是-8．
（2）如圖3，數軸上，點A所表示的數為-20，點B所表示的數為40．一只電子螞蟻P從點B出發，以2個單位每秒的速度沿數軸向左運動，設運動時間為t秒．
①求當t為何值時，P是【B，A】的暗點．
②求當t為何值時，P、A、B三個點中恰有一個點為其余兩點的亮點．
（友情提醒：注意P是【A，B】的亮點與P是【B，A】的亮點不一樣哦!）

Answer 1

分析 （1）根據亮點（或暗點）的定義即可求得；
（2）根據亮點的定義列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵$\frac{2-（-2）}{4-2}$=2，$\frac{4-0}{0-（-2）}$=2，
∴【M，N】的亮點表示的數是2；【N，M】的亮點表示的數是0，
故答案為2，0；
∵$\frac{10-（-2）}{10-4}$=2，$\frac{4-（-8）}{-2-（-8）}$=2，
∴【M，N】的暗點表示的數是10；【N，M】的暗點表示的數為-8，
故答案為10，-8；
（2）①設運動時間為t秒，則PB=2t，
易得方程2t=2（2t-60）．
所以t=60．
②當P是【A，B】的亮點時，∵PA=2PB，
∴2×2t=60-2t，
解得t=10；
當P是【B，A】的亮點時，∵PB=2PA，
∴2t=2（60-2t），
解得t=20；
當A是[B、P]的亮點時，∵AB=2AP，
∴60=2（2t-60）
解得t=45；
當A是[P、B]的亮點時，∵AP=2AB，
∴2t-60=2×60，
解得t=90；
綜上所述：當t為10，20，45，90時，P、A、B中恰有一個點為其余兩點的亮點．

點評 本題考查了數軸和一元一次方程的應用，明確亮點和暗點的定義，根據定義列出方程是解題的關鍵．