Question

1．設n為自然數(shù)，在△ABC內給定n個點．用一些除端點外沒有公共點的線段連接這些點及A、B、C，將△ABC分成t個小的三角形．
（1）用含n的代數(shù)式表示t；
（2）證明t為定值，與線段的連法無關．

Answer 1

分析 （1）先從n=1，2，3開始數(shù)出三角形的個數(shù)，進而找出規(guī)律即可解答；
（2根據(jù)三角形的內角和定理和周角的意義即可得出結論．

解答 解：（1）如圖1，

當n=1時，t=3=2×1+1，
如圖2，

當n=2時，t=3+2=5=2×2+1，
如圖3，

當n=3時，t=5+2=2×3+1，
從n=1，2，3發(fā)現(xiàn)沒多一個點，就多兩個三角形
所以，△ABC內給定n個點時，t=2n+1．
（2）由題設得，t個三角形的內角和tπ，△ABC的內角和π，
以給定的n個點的每個點所構成的周角之和n•2π．
由于t個三角形的內角和等于△ABC的內角和與以n個點的每個點所構成的周角之和，
∴tπ=π+n•2π，
∴t=2n+1．
故結論成立．

點評 此題主要考查了三角形的內角和定理，周角的意義，解（1）的關鍵是從特殊n=1，2，3時小三角形的個數(shù)，找出規(guī)律，解（2）的關鍵是用t個小三角形的內角和等于△ABC的內角和與以n個點的每個點所構成的周角之和建立方程．