Question

3．拋物線C₀的頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，且過點(diǎn)G（2，1）．如圖，過點(diǎn)P（0，2）分別作兩條直線，l₁：y=k₁x+2和l₂：y=k₂x+2（其中k₁•k₂≠0），兩直線分別與拋物線、x軸相交于點(diǎn)A、B、E和D、C、F，且M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)．
（1）求拋物線C₀的方程；
（2）若l₁⊥l₂，試分別用k₁、k₂表示E、F的坐標(biāo)，并據(jù)此探究k₁、K₂滿足的等量關(guān)系；
（3）若k₁+k₂=0，AP=2PB，求線MN的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線C₀的頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，且過點(diǎn)G（2，1），利用待定系數(shù)法可求得其解析式；
（2）根據(jù)兩直線的解析式可求得E、F的坐標(biāo)，在Rt△PEF中，可證明△POF∽△EOP，則可得到PO²=OE•OF，則可得到k₁、k₂之間的關(guān)系；
（3）可設(shè)A（a，m），B（b，n），由條件可得到a=-2b，再結(jié)合A、B分別在拋物線和直線l₁上，則可得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，則可求得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)k₁+k₂=0時(shí)，可知兩直線關(guān)于y軸對(duì)稱，可知MN⊥y軸，則可求得MN的長．

解答 解：
（1）∵拋物線C₀的頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，
∴設(shè)拋物線解析式為y=ax²，
把G（2，1）代入得：a=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線C₀的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²；
（2）在y=k₁x+2中，令y=0，可得x=-$\frac{2}{{k}_{1}}$，
∴E（-$\frac{2}{{k}_{1}}$，0），
則理可求得F（-$\frac{2}{{k}_{2}}$，0），
∵l₁⊥l₂，
∴△POF∽△EOP，
∴$\frac{PO}{OE}$=$\frac{OF}{PO}$，
∴PO²=OE•OF，
不妨設(shè)k₁＜0，則k₂＞0，
∴2²=$\frac{2}{{k}_{1}}$•$\frac{2}{{k}_{2}}$，
∴k₁•k₂=-1；
（3）不妨設(shè)k₁＜0，設(shè)A（a，m），B（b，n），
∵PA=2PB，
∴a=-2b①，
由點(diǎn)A、B分別在拋物線和直線l₁上，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y={k}_{1}x+2}\end{array}\right.$，整理可得x²-4k₁x-8=0，
∴ab=-8②，
由①②可得a=-4，b=2，
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，
∴M橫坐標(biāo)為-1，
當(dāng)k₁+k₂=0時(shí)，由（2）可知l₁和l₂關(guān)于y軸對(duì)稱，
∵M(jìn)、N關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴N點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，
∴MN=1-（-1）=2．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)的定義及方程思想等知識(shí)．在（1）中注意拋物線解析式的形式，在（2）中利用相似三角形的性質(zhì)得到k₁、k₂的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得M、N的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，注意利用k₁+k₂=0．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．