Question

16．在平面直角坐標系中，O坐標系原點，拋物線y=ax²-2ax+b交x軸負半軸與點A，交x軸正半軸于點B，拋物線的頂點為C，其縱坐標為-2，AB=4．
（1）如圖1，求a、b的值；
（2）如圖2，點D在CA的延長線上，點E在射線AB上，連接DE，將DE繞點E順時針旋轉90°得到線段EF，當點F落在拋物線上時，求點F的坐標；
（3）如圖3，在（2）的條件下，過E作EG‖y軸，交DF于點G，點H 在第二象限直線DF上方的拋物線上，連接DH，當DG=2GF，∠HDF=2∠DEA時，求點H的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線的對稱軸x=1，AB=4，推出A（-1，0），B（3，0），推出頂點C坐標（1，-2），設拋物線的解析式為y=a（x-1）²-2，把（-1，0）代入得a=$\frac{1}{2}$，由此即可解決問題．
（2）如圖1中，作DN⊥x軸于N，作FM⊥x軸于M，連接AF．只要證明△DEN≌△EFM，推出DN=EM，EN=FM，因為A（-1，0），C（1，-2），所以tan∠CAO=$\frac{2}{2}$=1，推出∠DAN=∠OAC=45°，推出DN=AN=EM，推出EN=AM=FM，推出∠FAM=45°，推出直線AF的解析式為y=x+1，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$解方程組即可確定點F坐標．
（3）如圖2中，作DN⊥x軸于N，FM⊥x軸于M，DJ⊥EG于J，延長EG使得EJ=JK，在EK的延長線上截取KP=DJ，作PQ⊥PE，截取PQ=KJ，連接DQ交拋物線于H．
只要證明∠HDF=2∠DEA，求得直線DQ的解析式為y=3x+15，解方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+15}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$即可解決問題．

解答 解：（1）對于拋物線y=ax²-2ax+b，對稱軸x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，
∵AB=4，
∴A（-1，0），B（3，0），頂點C坐標（1，-2），
設拋物線的解析式為y=a（x-1）²-2，把（-1，0）代入得a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線是解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2，即y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{3}{2}$．

（2）如圖1中，作DN⊥x軸于N，作FM⊥x軸于M，連接AF．

∵∠DNE=∠EMF=∠DEF=90°，
∴∠DEN+∠FEM=90°，∠FEM+∠EFM=90°，
∴∠DEN=∠EFM，
在△DEN和△EFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEN=∠EFM}\\{∠DNE=∠EMF}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△DEN≌△EFM，
∴DN=EM，EN=FM，
∵A（-1，0），C（1，-2），
∴tan∠CAO=$\frac{2}{2}$=1，
∴∠DAN=∠OAC=45°，
∴DN=AN=EM，
∴EN=AM=FM，
∴∠FAM=45°，
∴直線AF的解析式為y=x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴點F的坐標為（5，6）．

（3）如圖2中，作DN⊥x軸于N，FM⊥x軸于M，DJ⊥EG于J，延長EG使得EJ=JK，在EK的延長線上截取KP=DJ，作PQ⊥PE，截取PQ=KJ，連接DQ交拋物線于H．

∵DN∥EG∥FM，DG=2FG，
∴$\frac{EN}{EM}$=$\frac{DG}{GF}$=2，
∴FM=EN=2EM，
∵FM=6，
∴DN=EM=EJ=KJ=3，DJ=EN=6，
∵DJ=PK=6，PQ=KJ=3，∠DJK=∠QPK，
∴△DJK≌△KPQ，
∴DK=KQ，∠KDJ=∠QKP，
∵∠KDJ+∠DKJ=90°，
∴∠DKJ+∠QKP=90°，
∴∠DKQ=90°，
∴∠KDQ=∠DQK=45°，
∵DK=DE，DJ⊥EK，
∠JDK=∠JDE=∠DEA，
∴∠KDE=2∠DEA=∠EDF+∠KDF=45°+∠KDF=∠QDK+∠KDG=∠QDF，
∴∠HDF=2∠DEA，
∵Q（-1，12），D（-4，3），
∴直線DQ的解析式為y=3x+15，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+15}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=11}\\{y=48}\end{array}\right.$，
∵點H在第二象限，
∴點H的坐標為（-3，6）．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會構建一次函數，利用方程組求兩個函數的交點坐標，本題體現了數形結合的思想，屬于中考壓軸題．