Question

8．如圖，AB 為⊙O 的切線，切點為 B，連接 AO 與⊙O 交與點 C，BD 為⊙O 的直徑，連接 CD，若∠A=30°，OA=2，則圖中陰影部分的面積為（　　）

• A． $\frac{π}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{4π}{3}-2\sqrt{3}$
• C． $π-\sqrt{3}$
• D． $\frac{4}{3}π-\sqrt{3}$

Answer 1

分析 過O點作OE⊥CD于E，首先根據切線的性質和直角三角形的性質可得∠AOB=60°，再根據平角的定義和三角形外角的性質可得∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，根據含30°的直角三角形的性質可得OE，CD的長，再根據陰影部分的面積=扇形OCD的面積-三角形OCD的面積，列式計算即可求解

解答 解：
如圖，過O點作OE⊥CD于E，
∵AB為⊙O的切線，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，
∵OA=2，
∴⊙O的半徑為1，
∴OE=$\frac{1}{2}$，CE=DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CD=2CE=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_扇形COD-S_△COD=$\frac{120π×{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
故選A．

點評 本題主考查了扇形面積的計算，切線的性質，本題關鍵是理解陰影部分的面積=扇形OCD的面積-三角形OCD的面積