Question

4．如圖，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，C為角平分線上一點，過點C作CD⊥OC，垂足為C，交OB于點D，CE∥OA交OB于點E．
（1）判斷△CED的形狀，并說明理由；
（2）若OC=3，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）△CED為等邊三角形，理由如下：由OC為角平分線及∠AOB度數求出∠AOC與∠COE度數，再由CE與OA平行，得到一對內錯角相等，再由CD與OC垂直，求出∠ECD度數，利用三個內角相等的三角形為等邊三角形即可得證；
（2）由△CED為等邊三角形，得到三邊相等，利用等角對等邊得到OE=CE，進而得到OE=CE=DE，設CD=x，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得到OD=2x，再由OC的長，利用勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出CD的長．

解答 解：（1）△CED是等邊三角形，理由如下：
∵OC平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴∠AOC=∠COE=30°，
∵CE∥OA，
∴∠AOC=∠COE=∠OCE=30°，∠CED=60°，
∵CD⊥OC，
∴∠OCD=90°，
∴∠EDC=60°，
∴△CED是等邊三角形；                                             

（2）∵△CED是等邊三角形，
∴CD=CE=ED，
又∵∠COE=∠OCE，
∴OE=EC，
∴CD=ED=OE，
設CD=x，則OD=2x，
在Rt△OCD中，根據勾股定理得：x²+9=4x²，
解得：x=$\sqrt{3}$，
則CD=$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了等邊三角形的判定與性質，勾股定理，平行線的性質，含30度直角三角形的性質，熟練掌握等邊三角形的判定與性質是解本題的關鍵．