Question

12．如圖，直線EF將矩形紙片ABCD分成面積相等的兩部分，E、F分別與BC交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)F（E，F(xiàn)不與頂點(diǎn)重合）．設(shè)AB=a，AD=b，BE=x．用剪刀將紙片沿直線EF剪開后，將紙片ABEF沿AB翻折，再平移拼接在梯形ECDF的下方，那么能否做到紙片ABEF的一邊與EC重合，另一邊落在DC的延長(zhǎng)線上，能（用“能”或“不能”填空）．若填“能”，我們把拼接后在下方的四邊形記作ECB′E′，當(dāng)$\frac{x}{b}$的值為$\frac{2}{3}$或$\frac{1}{3}$時(shí)，直線E′E經(jīng)過(guò)原矩形的一個(gè)頂點(diǎn)，若填“不能”，請(qǐng)說(shuō)明理由：不能．

Answer 1

分析 當(dāng)直線EE′經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)D時(shí)，如圖（一）根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{EC}{E′B′}$=$\frac{DC}{DB′}$，代入數(shù)據(jù)監(jiān)控得到結(jié)論；當(dāng)直線E′E經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)A時(shí)，如圖（二）根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)得到CE=$\frac{1}{2}$（AD+E′B′），于是得到結(jié)論．

解答 解：能；
當(dāng)直線EE′經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)D時(shí)，如圖（一）
∵EC∥E′B′，
∴$\frac{EC}{E′B′}$=$\frac{DC}{DB′}$，
由EC=b-x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，
得$\frac{b-x}{x}$=$\frac{a}{2a}$，
∴x：b=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)直線E′E經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)A時(shí)，如圖（二）
在梯形AE′B′D中，
∵EC∥E′B′，點(diǎn)C是DB′的中點(diǎn)，
∴CE=$\frac{1}{2}$（AD+E′B′），
即b-x=$\frac{1}{2}$（b+x），
∴x：b=$\frac{1}{3}$．
∴當(dāng)$\frac{x}{b}$的值為$\frac{2}{3}$或$\frac{1}{3}$時(shí)，直線E′E經(jīng)過(guò)原矩形的一個(gè)頂點(diǎn)．
故答案為：能，$\frac{2}{3}$或$\frac{1}{3}$，不能．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了梯形面積的計(jì)算方法以及對(duì)于翻折、旋轉(zhuǎn)一類問(wèn)題的求解，能夠熟練掌握這類問(wèn)題的解題思想，并能夠熟練求解是解題的關(guān)鍵．