Question

6．如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，點E是CD的中點，連結AE，AC，且AC=AD，AB=AE．
（1）求證：CA平分∠BCE；
（2）若AD∥BC，CD=2，求四邊形ABCD的周長．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質得出AE⊥CD，CE=DE，由HL證明Rt△ABC≌Rt△AEC，得出∠BAC=∠EAC，即可得出結論；
（2）由等腰三角形的性質和全等三角形的性質得出∠BAC=∠EAC=∠DAE，由平行線的性質得出∠BAD=90°，求出∠BAC=30°，由直角三角形的性質得出AD=AC=2BC=2，由勾股定理得出AB=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$，即可得出四邊形ABCD的周長．

解答 （1）證明：∵點E是CD的中點，AC=AD，
∴AE⊥CD，CE=DE，
∴∠AEC=90°=∠B，
在Rt△ABC和Rt△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{AB=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△AEC（HL），
∴∠BAC=∠EAC，
∴CA平分∠BCE；
（2）解：∵AC=AD，點E是CD的中點，
∴∠DAE=∠CAE，CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=1，
∵Rt△ABC≌Rt△AEC，
∴∠BAC=∠EAC，BC=CE=1，
∴∠BAC=∠EAC=∠DAE，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠BAD=180°-∠B=90°，
∴∠BAC=30°，
∴AD=AC=2BC=2，
∴AB=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$，
∴四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=$\sqrt{3}$+1+2+2=5+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等腰三角形的性質、直角三角形全等的判定與性質、直角三角形的性質、勾股定理、平行線的性質；熟練掌握等腰三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．