Question

17．已知△ABC中，∠A=30°，AC=6．
（1）求作：⊙O，使得⊙O經過A、C兩點，且圓心O落在AB邊上．（要求尺規作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法）
（2）設⊙O與AB交于點D，連接CD，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）直接利用線段垂直平分線的性質作出AC的垂直平分線，進而得出圓心的位置；
（2）利用圓周角定理以及結合銳角三角函數關系得出AD的長，進而得出答案．

解答 解：（1）如圖所示：⊙O，即為所求；

（2）連接DC，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∵∠A=30°，AC=6，
∴cos30°=$\frac{AC}{AD}$=$\frac{6}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：AD=4$\sqrt{3}$，
故⊙O的半徑為：2$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了復雜作圖以及三角形的外心，正確掌握圓周角定理是解題關鍵．