Question

16．已知梯形ABCD中，對角線AC與腰BC相等，M是底邊AB的中點，L是邊DA延長線上一點連接LM并延長交對角線BD于N點．求證：∠ACL=∠BCN．

Answer 1

分析 延長LM至G，使LM=MG，推出四邊形ALBG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AL=BG，AL∥GB，得到$\frac{LN}{FN}$=$\frac{DN}{BN}$，延長CN交AB于F，令LC與AB的交點為E，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{CN}{FN}$=$\frac{DN}{BN}$，等量代換得到$\frac{LN}{EN}$=$\frac{DN}{BN}$，推出LC∥FG，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ELM=∠FGB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BF，然后又全等三角形的性質(zhì)結(jié)論得到結(jié)論．

解答 解：延長LM至G，使LM=MG，
∵AM=MB，LM=MG，
∴四邊形ALBG是平行四邊形，
∴AL=BG，AL∥GB，
∴$\frac{LN}{FN}$=$\frac{DN}{BN}$，
延長CN交AB于F，令LC與AB的交點為E，
∵AB是梯形ABCD的底邊，
∴BF∥CD，
∴$\frac{CN}{FN}$=$\frac{DN}{BN}$，
由$\frac{LN}{FN}$=$\frac{DN}{BN}$，
得：$\frac{LN}{EN}$=$\frac{DN}{BN}$，
∴LC∥FG，
∴∠ELM=∠FGB，
∵AL∥GB，
∴∠LAE=∠GBF，∠ALM=∠BGM，
∴∠ALM-∠ELM=∠BGM-∠FGB，
∴∠ALE=∠BGF，
在△ALE與△BGF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ALE=∠BGF}\\{AL=BG}\\{∠LAE=∠GBF}\end{array}\right.$，
∴△ALE≌△BGF，
∴AE=BF，
∵AC=BC，
∴∠CAE=∠CBF，
在△ACE與△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠CAE=∠CBF}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△BCF，
∴∠ACL=∠BCN．

點評 本題考查了梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．