Question

7．如圖，已知圓O的弦CD垂直于直徑AB，垂足是點(diǎn)E，連接CO并延長交AD于點(diǎn)F，若AB=4，求當(dāng)CF⊥AD時(shí)，OE的長為1．

Answer 1

分析 連接半徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角構(gòu)建直角三角形，證明∠ACF=∠DCF=∠BCD，從而得出30°角，利用30°角所對(duì)的直角邊的性質(zhì)求出OE的長．

解答 解：連接AC、BC，
∵AB=4，
∴OA=OC=2，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CF⊥AD，AB⊥CD，
∴∠AFO=∠CEO=90°，
∵∠COE=∠AOF，
∴∠BAD=∠DCF，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BCD=∠DCF，
∵CF⊥AD，
∴AF=DF，
∴CF是AD的中垂線，
∴AC=CD，
∴∠ACF=∠DCF，
∴∠ACF=∠DCF=∠BCD，
∴∠DCF=$\frac{1}{3}$×90°=30°，
在Rt△COE中，OE=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$×2=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理、圓周角定理、等腰三角形三線合一的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用的內(nèi)容較多，但不復(fù)雜，熟練掌握這些性質(zhì)是關(guān)鍵，本題的突破口是作輔助線，構(gòu)建直角三角形，得出30°．