Question

17．如圖1，已知△ABC和△EFC都是等邊三角形，點E在線段AB上．
（1）求證：AE=BF，BF∥AC；
（2）若點D在直線AC上，且ED=EC（如圖2），求證：AB=AD+BF；
（3）在（2）的條件下，若點E改為在線段AB的延長線上，其它條件不變（如圖3），請直接寫出AB、AD、BF之間的數量關系．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質得到∠ACB=∠ECF=60°，AC=BC，CE=FC，推出△ACE≌△FCB，得到AE=BF且∠A=∠CBF=60°，于是得到∠A+∠ABF=180°，根據平行線的判定定理即可得到AC∥BF；
（2）過E作EM∥BC交AC于M，得到△AEM是等邊三角形，求得AE=EM=AM，∠DAE=∠EMC=120°，根據全等三角形的性質，得到AD=CM，由（1）得△ACE≌△FCB，得到BF=AE，進而推出AB=BF+AD；
（3）過E作EM∥BC交AC的延長線于M，推出△AEM是等邊三角形，根據等邊三角形的性質，得到∠DAE=∠EMC=60°，推出∠ADE=∠ECM，根據全等三角形的性質，得到AD=CM，等量代換即可得到結論．

解答 解：（1）如圖1，∵△ABC和△EFC都是等邊三角形，
∴∠ACB=∠ECF=60°，AC=BC，CE=FC，
∴∠1=∠2，
在△ACE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠1=∠2}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，且∠BAC=∠FBC=60°，
又∠ABC=60°，
∴∠A+∠ABC+∠FBC=180°，即∠A+∠ABF=180°，
∴AC∥BF；

（2）證明：如圖2，過E作EM∥BC交AC于M，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEM=∠AME=60°，
∴△AEM是等邊三角形，
∴AE=EM=AM，
∴∠DAE=∠EMC=120°，
∵DE=CE，
∴∠D=∠1，
在△ADE和△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠EMC}\\{∠D=∠1}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MCE（AAS），
∴AD=CM，
由（1）得△ACE≌△FCB，
∴BF=AE=AM，
∵AC=AM+CM，
∴AC=BF+AD，
即AB=BF+AD；

（3）AB、AD、BF之間的數量關系為：AB=BF-AD，
理由：如圖3，過E作EM∥BC交AC的延長線于M，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEM=∠AME=60°，
∴△AEM是等邊三角形，
∴AE=EM=AM，
∴∠DAE=∠EMC=60°，
∵DE=CE，
∴∠ADE=∠DCE，
∴∠ADE=∠ECM，
在△ADE與△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠AME}\\{∠ADE=∠ECM}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MCE（AAS），
∴AD=CM，
由（1）得△ACE≌△FCB，
∴BF=AE=AM，
∵AM=AC+CM，
∴AC=AM-CM，
∴AC=BF-AD，
即AB=BF-AD．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質以及平行線的性質的綜合應用，正確的作出輔助線，構造等邊三角形和全等三角形是解題的關鍵．解題時注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．