Question

20．⊙O的半徑為r，它的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長分別為a，b，c．
（1）求a，b，c；
（2）以a，b，c為邊可否構(gòu)成三角形？如果能，構(gòu)成的是什么三角形？如果不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意畫出圖形，再由正多邊形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)求解即可；
（2）由勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論．．

解答 解：（1）如圖1所示，
在正三角形ABC中，連接OB，過O作OD⊥BC于D，
則∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
故a=BC=2BD=$\sqrt{3}$r；
如圖2所示，
在正方形ABCD中，連接OB、OC，過O作OE⊥BC于E，
則△OBE是等腰直角三角形，
2BE²=OB²，即BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
故b=BC=$\sqrt{2}$r；
如圖3所示，
在正六邊形ABCDEF中，連接OA、OB，過O作OG⊥AB，
則△OAB是等邊三角形，
故AG=OA•cos60°=$\frac{1}{2}$r，
c=AB=2AG=r；
（2）能構(gòu)成三角形，構(gòu)成直角三角形；理由如下：
∵a=$\sqrt{3}$r，b=$\sqrt{2}$r，c=r，
∴c²+b²=a²，
∴能構(gòu)成直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓內(nèi)接正三角形、正方形及正六邊形的性質(zhì)；根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．