Question

8．用歸納法化簡求值：化簡$\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$+$\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{9\sqrt{10}+10\sqrt{9}}$．

Answer 1

分析 根據提公因式法和平方差公式得到原式=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{\sqrt{2}×\sqrt{1}}$+$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$+$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{4}×\sqrt{3}}$+…+$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{9}}{\sqrt{10}×\sqrt{9}}$，再拆項抵消法求解即可．

解答 解：$\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$+$\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{9\sqrt{10}+10\sqrt{9}}$
=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{\sqrt{2}×\sqrt{1}}$+$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$+$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{4}×\sqrt{3}}$+…+$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{9}}{\sqrt{10}×\sqrt{9}}$
=$\frac{1}{\sqrt{1}}$-$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$-$\frac{1}{\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{9}}$-$\frac{1}{\sqrt{10}}$
=$\frac{1}{\sqrt{1}}$-$\frac{1}{\sqrt{10}}$
=1-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點評 此題考查了二次根式的化簡求值，二次根式運算的最后，注意結果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區分，避免互相干擾．解題的關鍵是將原式變形為$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{\sqrt{2}×\sqrt{1}}$+$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$+$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{4}×\sqrt{3}}$+…+$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{9}}{\sqrt{10}×\sqrt{9}}$．