Question

16．如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線一點，當PA=CQ時，連結PQ交AC于D，則DE的長為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{2}{5}$

Answer 1

分析 過P作PF∥BC交AC于F，得出等邊三角形APF，推出AP=PF=QC，根據等腰三角形性質求出EF=AE，證△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=$\frac{1}{2}$AC即可．

解答 解：過P作PF∥BC交AC于F．如圖所示：
∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PFD=∠QCD}&{\;}\\{∠PDF=∠QDC}&{\;}\\{PF=CQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=1，
∴DE=$\frac{1}{2}$．
故選：A．

點評 本題綜合考查了全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，平行線的性質等知識點的應用；證明三角形全等是解決問題的關鍵．