Question

13．如圖，等邊△ABC內接于⊙O，點D是BC的中點，過點D作AB的平行線交⊙O于點E，F，則$\frac{EF}{BC}$的值是（　�。�

• A． 2
• B． 1.5
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 如圖，連接OC交EF于H，BE、CF，EF交AC于K．首先證明DE=KF，設BC=2a，DE=FK=x，則BD=DC=a，由△BDE∽△FDC，推出BD：DF=DE：DC，即a²=x（x+a），求出x即可解決問題．

解答 解：如圖，連接OC交EF于H，BE、CF，EF交AC于K．

∵△ABC是等邊三角形，
∴△ABC關于OC對稱，
∴OC⊥AB，
∵AB∥EF，
∴OC⊥EF，
∴HE=KF，
∵△CDK是等邊三角形，CH⊥DK，
∴DH=KH，
∴DE=FK，設BC=2a，DE=FK=x，則BD=DC=a，
∵∠BDE=∠FDC，∠EBD=∠F，
∴△BDE∽△FDC，
∴BD：DF=DE：DC，
∴a²=x（x+a），
∴x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a或$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$a，
∴EF=$\sqrt{5}$a，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}a}{2a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選D．

點評 本題考查等邊三角形的性質、相似三角形的判定和性質、垂徑定理、一元二次方程等知識，解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題，學會用方程的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．