Question

13．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為AB和AD上的兩個動點．
（1）當點E、F分別為AB，AD的中點時，圖中有哪些三角形面積相等？
（2）若四邊形AENF為40平方厘米，三角形BEM面積為20平方厘米，三角形DFP面積為16平方厘米時，求陰影部分面積．
（3）若DF為AF的$\frac{1}{2}$，且滿足PC是PF的5倍，求PE與PD的比值．

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形的性質，相似三角形的性質以及等底等高的三角形面積相等，進行判斷即可得出面積相等的三角形；
（2）先設△FPN的面積為a，△EMN的面積為b，△BCM的面積為c，△CDP的面積為d，陰影部分面積為s，根據△ADE的面積+△BCE的面積=△CDE的面積，△ABF的面積+△CDF的面積=△BCF的面積，列出等式40+a+16+20+c=b+s+d，40+b+20+16+d=a+s+c，即可求得s的值；
（3）根據DF為AF的$\frac{1}{2}$，且PC是PF的5倍，得出DF：AF=1：2，并設CP=5k，FP=k，則CF=6k，再根據平行線分線段成比例定理，列出比例式，求得PE：PD=PG：PC=（12k+k）：5k=13：5，即可得出PE與PD的比值．

解答 解：（1）如圖1，當點E、F分別為AB，AD的中點時，
△ABF的面積=△CDF的面積=△ADE的面積=△BCE的面積=平行四邊形ABCD面積的$\frac{1}{4}$，
△BCF的面積=△CDE的面積=平行四邊形ABCD面積的$\frac{1}{2}$，
如圖所示，延長BA，CF交于點G，
當點E、F分別為AB，AD的中點時，△AFG≌△DFC，故CF=GF，
由CD∥GE可得，△GEP∽△CDP，故CP：GP=2：3，
∴CP：PF=4：1，
同理可得CM：ME=4：1，
∴△CPD的面積=△CDF面積的$\frac{4}{5}$=△BCE面積的$\frac{4}{5}$=△BCM的面積，
∴△FPD的面積=△CDF面積的$\frac{1}{5}$=△BCE面積的$\frac{1}{5}$=△BEM的面積，
又∵△ABF的面積=△ADE的面積，
∴△BEN的面積=△DFN的面積，
∴△MEN的面積=△PFN的面積；

（2）如圖2，設△FPN的面積為a，△EMN的面積為b，△BCM的面積為c，△CDP的面積為d，陰影部分面積為s，則由（1）可得
△ADE的面積+△BCE的面積=△CDE的面積，
△ABF的面積+△CDF的面積=△BCF的面積，
即40+a+16+20+c=b+s+d，①
40+b+20+16+d=a+s+c，②
由①+②，可得76=2s，
∴s=38，
即陰影部分面積為38；

（3）如圖1，延長BA，CF交于點G，
∵DF為AF的$\frac{1}{2}$，且PC是PF的5倍，
∴DF：AF=1：2，
設CP=5k，FP=k，則CF=6k，
∵CD∥AG，
∴CF：GF=DF：AF，
即6k：GF=1：2，
∴GF=12k，
∵CD∥EG，
∴PE：PD=PG：PC=（12k+k）：5k=13：5，
∴PE與PD的比值為$\frac{13}{5}$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，三角形的面積計算以及平行線分線段成比例定理的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握平行四邊形是中心對稱圖形，并運用相似三角形的對應邊成比例得出線段的比值．