Question

4．如圖，已知正方形ABCD，點E在CB的延長線上，聯結AE、DE，DE與邊AB交于點F，FG∥BE且與AE交于點G．
（1）求證：GF=BF．
（2）在BC邊上取點M，使得BM=BE，聯結AM交DE于點O．求證：FO•ED=OD•EF．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件可得到GF∥AD，則有$\frac{GF}{AD}$=$\frac{EF}{ED}$，由BF∥CD可得到$\frac{BF}{CD}$=$\frac{EF}{ED}$，又因為AD=CD，可得到GF=FB；
（2）延長GF交AM于H，根據平行線分線段成比例定理得到$\frac{GF}{BE}=\frac{FH}{BM}$，由于BM=BE，得到GF=FH，由GF∥AD，得到$\frac{EF}{ED}=\frac{GF}{AD}，\frac{FH}{AD}=\frac{FO}{OD}$，等量代換得到$\frac{EF}{ED}=\frac{FH}{AD}$，即$\frac{EF}{ED}=\frac{FO}{OD}$，于是得到結論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=CD，
∵GF∥BE，
∴GF∥BC，
∴GF∥AD，
∴$\frac{GF}{AD}=\frac{EF}{ED}$，
∵AB∥CD，
∴$\frac{BF}{CD}=\frac{EF}{ED}$，
∵AD=CD，
∴GF=BF；

（2）延長GF交AM于H，
∵GF∥BC，
∴FH∥BC，
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{AF}{AB}，\frac{FH}{BM}=\frac{AF}{AB}$，
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{FH}{BM}$，
∵BM=BE，
∴GF=FH，
∵GF∥AD，
∴$\frac{EF}{ED}=\frac{GF}{AD}，\frac{FH}{AD}=\frac{FO}{OD}$，
∴$\frac{EF}{ED}=\frac{FH}{AD}$，
∴$\frac{EF}{ED}=\frac{FO}{OD}$，
∴FO•ED=OD•EF．

點評 本題主要考查平行線分線段成比例及正方形的性質，掌握平行線分線段中的線段對應成比例是解題的關鍵，注意利用比例相等也可以證明線段相等．