Question

6．在平面直角坐標系中，如果點P 的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為和諧點，例如點（1，1），（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$），（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），…都是和諧點，若二次函數y=ax²+4x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個和諧點（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），當0≤x≤m時，函數y=ax²+4x+c-$\frac{3}{4}$（a≠0）的最小值為-3，最大值為1，則m的取值范圍是2≤m≤4．

Answer 1

分析 根據和諧點的概念令ax²+4x+c=x，即ax²+3x+c=0，由題意，△=3²-4ac=0，即4ac=9，方程的根為$\frac{-3}{2a}$=$\frac{3}{2}$，從而求得a=-1，c=-$\frac{9}{4}$，所以函數y=ax²+4x+c-$\frac{3}{4}$=-x²+4x-3，根據函數解析式求得頂點坐標與縱坐標的交點坐標，根據y的取值，即可確定x的取值范圍．

解答 解：令ax²+4x+c=x，即ax²+3x+c=0，
由題意，△=3²-4ac=0，即4ac=9，
又方程的根為$\frac{-3}{2a}$=$\frac{3}{2}$，
解得a=-1，c=-$\frac{9}{4}$．                           
故函數y=ax²+4x+c-$\frac{3}{4}$=-x²+4x-3，
如圖，該函數圖象頂點為（2，1），與y軸交點為（0，-3），由對稱性，該函數圖象也經過點（4，-3）．                            

由于函數圖象在對稱軸x=2左側y隨x的增大而增大，在對稱軸右側y隨x的增大而減小，且當0≤x≤m時，函數y=-x²+4x-3的最小值為-3，最大值為1，
∴2≤m≤4，
故答案為：2≤m≤4．

點評 本題是二次函數的綜合題，考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質以及根的判別式等知識，利用分類討論以及數形結合得出是解題關鍵．