(本題滿分14分)如圖,二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(–1,0),與y軸交于點C.若點P,Q同時從A點出發,都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB,AC邊運動,其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動.
(1)求該二次函數的解析式及點C的坐標;
(2)當P,Q運動t秒時,△APQ沿PQ翻折,點A恰好落在拋物線上D點處,請判定此時四邊形APDQ的形狀并求說明理由.
(3)當點P運動到B點時,點Q停止運動,這時,在x軸上是否存在點E,使得以A,E,Q為頂點的三角形為等腰三角形?若存在,請求出E點坐標;若不存在,請說明理由
(1)y=x2﹣
x﹣4.C(0,﹣4);
(2)四邊形APDQ為菱形;
(3)存在滿足條件的點E,點E的坐標為(﹣,0)或(﹣
,0)或(﹣1,0)或(7,0).
【解析】
試題分析:(1)將A,B點坐標代入函數y=x2+bx+c中,求得b、c,進而可求解析式及C坐標.
(2)注意到P,Q運動速度相同,則△APQ運動時都為等腰三角形,又由A、D對稱,則AP=DP,AQ=DQ,易得四邊形四邊都相等,即菱形.
(3)等腰三角形有三種情況,AE=EQ,AQ=EQ,AE=AQ.借助垂直平分線,畫圓易得E大致位置,設邊長為x,表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標.
試題解析:(1)∵二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(﹣1,0),
∴,
解得 ,
∴y=x2﹣
x﹣4.
∴C(0,﹣4).
(2)四邊形APDQ為菱形.理由如下:
如圖,D點關于PQ與A點對稱,過點Q作,FQ⊥AP于F,
∵AP=AQ=t,AP=DP,AQ=DQ,
∴AP=AQ=QD=DP,
∴四邊形AQDP為菱形
(3)存在.
如圖1,過點Q作QD⊥OA于D,此時QD∥OC,
∵A(3,0),B(﹣1,0),C(0,﹣4),O(0,0)
∴AB=4,OA=3,OC=4,
∴AC==5,
∵當點P運動到B點時,點Q停止運動,AB=4,
∴AQ=4.
∵QD∥OC,
∴,
∴,
∴QD=,AD=
.
①作AQ的垂直平分線,交AO于E,此時AE=EQ,即△AEQ為等腰三角形,
設AE=x,則EQ=x,DE=AD﹣AE=﹣x,
∴在Rt△EDQ中,(﹣x)2+(
)2=x2,解得 x=
,
∴OA﹣AE=3﹣=﹣
,
∴E(﹣,0).
②以Q為圓心,AQ長半徑畫圓,交x軸于E,此時QE=QA=4,
∵ED=AD=,
∴AE=,
∴OA﹣AE=3﹣=﹣
,
∴E(﹣,0).
③當AE=AQ=4時,
1.當E在A點左邊時,
∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1,
∴E(﹣1,0).
2.當E在A點右邊時,
∵OA+AE=3+4=7,
∴E(7,0).
綜上所述,存在滿足條件的點E,點E的坐標為(﹣,0)或(﹣
,0)或(﹣1,0)或(7,0).
考點:二次函數綜合題
科目:初中數學 來源:2014-2015學年云南省景洪市九年級11月月考數學試卷(解析版) 題型:選擇題
有5張大小、背面都相同的撲克牌,正面上的數字分別是4,5,6,7,8.若將這5張牌背面朝上洗勻后,從中任意抽取1張,那么這張牌正面上的數字為偶數的概率是( )
A. B.
C.
D.
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科目:初中數學 來源:2014-2015學年江蘇省等九年級上學期第三次月考數學試卷(解析版) 題型:填空題
已知二次函數y=x2-8x+m的最小值為1,那么m的值等于________.
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科目:初中數學 來源:2014-2015學年江蘇省等九年級上學期第三次月考數學試卷(解析版) 題型:選擇題
二次函數y=ax2+bx+c(a≠0),當x=1時,函數y有最大值,設(x1,y1),(x2,y2)是這個函數圖象上的兩點,且1<x1<x2,則( )
A.a>0,y1>y2 B.a>0,y1<y2 C.a<0,y1<y2 D.a<0,y1>y2
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科目:初中數學 來源:2014-2015學年江蘇省靖江市九年級1月獨立作業數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分10分)某商場一種商品的進價為每件30元,售價為每件40元.每天可以銷售48件,為盡快減少庫存,商場決定降價促銷.
(1)若該商品連續兩次下調相同的百分率后售價降至每件32﹒4元,求兩次下降的百分率;
(2)經調查,若該商品每降價0﹒5元,每天可多銷售4件,那么每天要想獲得512元的利潤,每件應降價多少元?
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科目:初中數學 來源:2014-2015學年江蘇省靖江市九年級1月獨立作業數學試卷(解析版) 題型:填空題
如圖,F、G分別是正五邊形ABCDE的邊BC、CD上的點,CF=DG,連接DF、EG.將△DFC繞正五邊形的中心按逆時針方向旋轉到△EGD,旋轉角為(0°<
<180°),則∠
= °.
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科目:初中數學 來源:2014-2015學年天津市七年級上學期期末數學試卷(解析版) 題型:解答題
計算:(1)4x2y2―4xy+3yx―x2y2
(2)3a―(a―3b)―(a+2b)―2(a―b)
(3)5x-10x=2x+7
(4)3x-7=4x+8
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科目:初中數學 來源:2014-2015學年天津市八年級上學期期末數學試卷(解析版) 題型:選擇題
如圖,一個等邊三角形紙片,剪去一個角后得到一個四邊形,則圖中∠α+∠β的度數是( )
A.180° B.220° C.240° D.300°
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