Question

（本題滿分14分）如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（–1，0），與y軸交于點C．若點P，Q同時從A點出發，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．

（1）求該二次函數的解析式及點C的坐標；

（2）當P，Q運動t秒時，△APQ沿PQ翻折，點A恰好落在拋物線上D點處，請判定此時四邊形APDQ的形狀并求說明理由．

（3）當點P運動到B點時，點Q停止運動，這時，在x軸上是否存在點E，使得以A，E，Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請求出E點坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

（1）y=x2﹣x﹣4．C（0，﹣4）；

（2）四邊形APDQ為菱形；

（3）存在滿足條件的點E，點E的坐標為（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．

【解析】

試題分析：（1）將A，B點坐標代入函數y=x2+bx+c中，求得b、c，進而可求解析式及C坐標．

（2）注意到P，Q運動速度相同，則△APQ運動時都為等腰三角形，又由A、D對稱，則AP=DP，AQ=DQ，易得四邊形四邊都相等，即菱形．

（3）等腰三角形有三種情況，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分線，畫圓易得E大致位置，設邊長為x，表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標．

試題解析：（1）∵二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），

∴，

解得 ，

∴y=x2﹣x﹣4．

∴C（0，﹣4）．

（2）四邊形APDQ為菱形．理由如下：

如圖，D點關于PQ與A點對稱，過點Q作，FQ⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，

∴AP=AQ=QD=DP，

∴四邊形AQDP為菱形

（3）存在．

如圖1，過點Q作QD⊥OA于D，此時QD∥OC，

∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0）

∴AB=4，OA=3，OC=4，

∴AC==5，

∵當點P運動到B點時，點Q停止運動，AB=4，

∴AQ=4．

∵QD∥OC，

∴，

∴，

∴QD=，AD=．

①作AQ的垂直平分線，交AO于E，此時AE=EQ，即△AEQ為等腰三角形，

設AE=x，則EQ=x，DE=AD﹣AE=﹣x，

∴在Rt△EDQ中，（﹣x）2+（）2=x2，解得 x=，

∴OA﹣AE=3﹣=﹣，

∴E（﹣，0）．

②以Q為圓心，AQ長半徑畫圓，交x軸于E，此時QE=QA=4，

∵ED=AD=，

∴AE=，

∴OA﹣AE=3﹣=﹣，

∴E（﹣，0）．

③當AE=AQ=4時，

1．當E在A點左邊時，

∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，

∴E（﹣1，0）．

2．當E在A點右邊時，

∵OA+AE=3+4=7，

∴E（7，0）．

綜上所述，存在滿足條件的點E，點E的坐標為（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．

考點：二次函數綜合題