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(本題滿分14分)如圖,二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(–1,0),與y軸交于點C.若點P,Q同時從A點出發,都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB,AC邊運動,其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動.

(1)求該二次函數的解析式及點C的坐標;

(2)當P,Q運動t秒時,△APQ沿PQ翻折,點A恰好落在拋物線上D點處,請判定此時四邊形APDQ的形狀并求說明理由.

(3)當點P運動到B點時,點Q停止運動,這時,在x軸上是否存在點E,使得以A,E,Q為頂點的三角形為等腰三角形?若存在,請求出E點坐標;若不存在,請說明理由

(1)y=x2﹣x﹣4.C(0,﹣4);

(2)四邊形APDQ為菱形;

(3)存在滿足條件的點E,點E的坐標為(﹣,0)或(﹣,0)或(﹣1,0)或(7,0).

【解析】

試題分析:(1)將A,B點坐標代入函數y=x2+bx+c中,求得b、c,進而可求解析式及C坐標.

(2)注意到P,Q運動速度相同,則△APQ運動時都為等腰三角形,又由A、D對稱,則AP=DP,AQ=DQ,易得四邊形四邊都相等,即菱形.

(3)等腰三角形有三種情況,AE=EQ,AQ=EQ,AE=AQ.借助垂直平分線,畫圓易得E大致位置,設邊長為x,表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標.

試題解析:(1)∵二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(﹣1,0),

,

解得 ,

∴y=x2﹣x﹣4.

∴C(0,﹣4).

(2)四邊形APDQ為菱形.理由如下:

如圖,D點關于PQ與A點對稱,過點Q作,FQ⊥AP于F,

∵AP=AQ=t,AP=DP,AQ=DQ,

∴AP=AQ=QD=DP,

∴四邊形AQDP為菱形

(3)存在.

如圖1,過點Q作QD⊥OA于D,此時QD∥OC,

∵A(3,0),B(﹣1,0),C(0,﹣4),O(0,0)

∴AB=4,OA=3,OC=4,

∴AC==5,

∵當點P運動到B點時,點Q停止運動,AB=4,

∴AQ=4.

∵QD∥OC,

,

,

∴QD=,AD=

①作AQ的垂直平分線,交AO于E,此時AE=EQ,即△AEQ為等腰三角形,

設AE=x,則EQ=x,DE=AD﹣AE=﹣x,

∴在Rt△EDQ中,(﹣x)2+()2=x2,解得 x=

∴OA﹣AE=3﹣=﹣,

∴E(﹣,0).

②以Q為圓心,AQ長半徑畫圓,交x軸于E,此時QE=QA=4,

∵ED=AD=,

∴AE=,

∴OA﹣AE=3﹣=﹣

∴E(﹣,0).

③當AE=AQ=4時,

1.當E在A點左邊時,

∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1,

∴E(﹣1,0).

2.當E在A點右邊時,

∵OA+AE=3+4=7,

∴E(7,0).

綜上所述,存在滿足條件的點E,點E的坐標為(﹣,0)或(﹣,0)或(﹣1,0)或(7,0).

考點:二次函數綜合題

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