Question

15．如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D為AB上一點．
（1）求證：△ACE≌△BCD
（2）求證：AD²+BD²=DE²．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質可知BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=90°，通過等量減等量即可推出∠ACE=∠BCD，根據全等三角形的判定定理“SAS”，即可退出結論；
（2）根據（1）中所推出的結論可知，BD=AE，∠CAE=∠B=45°，然后根據等腰直角三角形的性質推出∠CAB=45°，即可推出EA⊥BA，即△EAD為直角三角形，再根據勾股定理即可推出AE²+AD²=DE²，即AD²+BD²=DE²，問題得解．

解答 證明（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴BC=AC，CD=CE，
∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴BD=AE，
∠CAE=∠B=45°∠ACE=∠BCD，
∴∠DAE=∠BAC+∠EAC=45°+45°=90°，
∴在Rt△ADE中AD²+AE²=DE²，
∴AD²+BD²=DE²

點評 本題主要考查全等三角形的判定及性質，勾股定理，等腰直角三角形性質，關鍵在于認真的閱讀題目，正確的運用相關的性質定理求證三角形全等．