Question

7．（1）操作發現：如圖，小明在矩形紙片ABCD的邊AD上取中點E，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點G在矩形ABCD內部，將BG延長交DC于點F，認為GF=DF，你同意嗎？說明理由．
（2）問題解決：保持（1）中條件不變，若DC=2FC，求$\frac{AD}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接EF，則AE=EG，HL可證明Rt△EGF≌Rt△EDF，根據全等三角形的性質即可求解；
（2）設FC=x，BC=y，則有GF=x，AD=y．根據DC=2FC得到DF=x，DC=AB=BG=2x，BF=BG+GF=3x，然后利用勾股定理得到y與x之間關系，從而求得兩條線段的比．

解答 解：（1）同意．連接EF，則∠EGF=∠D=90°．
∵點E是AD的中點，
∴由折疊的性質知，EG=ED
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EG=ED}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）．
∴GF=DF；

（2）由（1）知，GF=DF．設FC=x，BC=y，則有GF=x，AD=y．
∵DC=2FC，
∴DF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x．
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BC²+CF²=BF²，即y²+x²=（3x）²．
∴y=2$\sqrt{2}$x
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{y}{2x}$=$\sqrt{2}$．

點評 此題考查了矩形的性質、圖形的折疊變換、全等三角形的判定和性質、勾股定理的應用等重要知識，難度適中．