Question

4．如圖，二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過點A（1，4）與B（5，0），C（-1，0）．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）點D是該二次函數圖象上A，B兩點之間的一動點，橫坐標為x（1＜x＜5），寫出四邊形ABCD的面積S關于點D的橫坐標x的函數表達式，并求S的最大值；
（3）點E是該二次函數圖象上的點，點E是x軸上的點，如果以A、C、E、F為頂點的四邊形是以AC為一邊的平行四邊形，直接寫出E的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A、B、C的坐標代入二次函數解析式求出a、b、c的值即可；
（2）如圖，過A作x軸的垂直，垂足為E（1，0），連接ED、DB，過D作DF⊥AE，DG⊥x軸，垂足分別為F，G，分別表示出三角形ACE，三角形ADE，以及三角形BDE的面積，之和即為S，確定出S關于x的函數解析式，并求出x的范圍，利用二次函數性質即可確定出S的最大值，以及此時x的值；
（3）由于AC確定，得到點E與點A的縱坐標之間的關系，然后代入拋物線的解析式，就可得到滿足條件的所有點E的坐標．

解答 解：（1）把點A（1，4）與B（5，0），C（-1，0）代入y=ax²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=4}\\{25a+5b+c=0}\\{a-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴該二次函數的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$；
（2）如圖1，過A作x軸的垂直，垂足為E（1，0），連接ED、DB，過D作DF⊥AE，DG⊥x軸，垂足分別為F，G，
S_△ACE=$\frac{1}{2}$CE•AE=$\frac{1}{2}$×2×4=4；
S_△ADE=$\frac{1}{2}$AE•DF=$\frac{1}{2}$×4×（x-1）=2x-2；
S_△BDE=$\frac{1}{2}$BE•DG=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$）=-x²+4x+5，
則S=S_△ACE+S_△ADE+S_△BDE=4+2x-2-x²+4x+5=-x²+6x+7，
∴S關于x的函數表達式為S=-x²+6x+7（1＜x＜5），
∵S=-x²+6x+7=-（x-3）²+16，
∴當x=3時，四邊形OACB的面積S有最大值，最大值為16；
（3）∵AC為平行四邊形的一邊，則AC∥EF，AE∥CF，A，E到x軸的距離相等，
∴|y_E|=|y_A|=4，
∴y_E=±4．
當y_E=4時，解方程-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$=4得，
x₁=1，x₂=3，
∴點E的坐標為（3，4）；
當y_E=-4時，解方程-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$=-4得，
x₁=2-$\sqrt{17}$，x₂=2+$\sqrt{17}$，
∴點E的坐標為（2-$\sqrt{17}$，-4），（2+$\sqrt{17}$，-4）．

點評 本題屬于二次函數綜合題，主要考查了運用待定系數法求出直線及拋物線的解析式、拋物線上點的坐標特征、解一元二次方程、平行四邊形的性質、拋物線的性質等知識的綜合應用，運用割補法及配方法是解決問題的關鍵，解題時注意運用分類討論的思想．