Question

9．已知Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，點D為直線BC上的一動點（點D不與點B、C重合），以AD為邊作Rt△ADE，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，連接CF．

（1）發現問題
如圖①，當點D在邊BC上時．
①請寫出BD和CE之間的數量關系為BD=CE，位置關系為BD⊥CE；
②求證：CE+CD=BC
（2）嘗試探究
如圖②，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，（1）中BC、CE、CD之間存在的數量關系是否成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出新的數量關系，不證明．
（3）拓展延伸
如圖③，當點D在CB的延長線上且其他條件不變時，若BC=6，CE=2，求線段CD的長．

Answer 1

分析 （1）①根據全等三角形的判定定理證明△BAD≌△CAE，根據全等三角形的性質證明；
②根據全等三角形的對應邊相等證明即可；
（2）證明△BAD≌△CAE，根據全等三角形的性質解答即可；
（3）根據△BAD≌△CAE得到BD=CE=2，計算即可．

解答 解：（1）①BD=CE，BD⊥CE，
∵∠ABC=∠ACB=45°，∠ADE=∠AED=45°，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，
∴∠BCE=90°，即BD⊥CE，
故答案為：BD=CE；BD⊥CE；
②∵BD=CE，
∴BC=BD+CD=CE+CD；
（2）（1）中BC、CE、CD之間存在的數量關系不成立，新的數量關系是CE=BC+CD，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∴CE=BC+CD；
（3）由（2）得，△BAD≌△CAE，
∴BD=CE=2，
∴CD=BC+CD=8．

點評 本題考查的是全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．