Question

17．已知△ABC是圓內接等腰三角形，它的底邊長是8，若圓的半徑是5，則△ABC的面積是32或8．

Answer 1

分析 如圖（1）和（2），由等腰三角形的外心在三角形的底邊的高上，根據勾股定理求出OD的長，進一步求出BD的長，根據三角形的面積公式即可求出答案．

解答 解：連接OB交AC于D，連接OC，

∵圓O是等腰三角形的外接圓，O是外心，
∴BD⊥AC，AD=DC=4，有兩種情況：
（1）如圖（1）：OC=5，由勾股定理得：OD=$\sqrt{O{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
即：BD=3+5=8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×8×8=32；
（2）如圖（2）：同法可求OD=3，
BD=5-3=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×8×2=8；
故答案為：32或8．

點評 本題主要考查了三角形的外接圓和外心，等腰三角形的性質，勾股定理，三角形的面積等知識點，解此題的關鍵是求出高BD的長度．此題用的數學思想是分類討論思想．題目較好．