Question

4．已知x，y，z均為非負實數，且滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2z=3}\\{2x+y+z=3}\end{array}\right.$，求x²+y²+2z²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 首先解關于y、z的方程組求得y、z的值（用含x的式子表示），然后由x，y，z可確定出x的取值范圍，然后將z=2-x、y=1-x代入所求的代數式，得到代數式的值與x的函數關系，然后利用二次函數的性質（結合自編量x的取值范圍）可得到代數式的最大值和最小值．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2z=3①}\\{2x+y+z=3②}\end{array}\right.$
①+②得：3a+3z=6，則z=2-x③．
將③代入②得：2x+y+2-x=3，則x+y=1，
∴y=1-x．
∵x，y，z均為非負實數，
∴0≤x≤1．
原式=x²+（1-x）²+2（2-x）²=4x2-10x+9=4（x-$\frac{5}{4}$）²+$\frac{9}{4}$．
當0≤x≤1時，函數圖象位于對稱軸左側，
∴當x=0時，代數式有最大值，最大值=$\frac{17}{2}$，當x=1時，代數式有最小值，最小值=$\frac{5}{2}$．

點評 本題主要考查的是二次函數的性質和應用、解三元一次方程組，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．