Question

11．在平面直角坐標(biāo)系中，點O為原點，平行于x軸的直線與拋物線L：y=ax²相交于A，B兩點（點B在第一象限），點C在AB的延長線上．
（1）已知a=1，點B的縱坐標(biāo)為2．如圖1，向右平移拋物線L使該拋物線過點B，與AB的延長線交于點C，AC的長為4$\sqrt{2}$．
（2）如圖2，若BC=AB，過O，B，C三點的拋物線L₃，頂點為P，開口向下，對應(yīng)函數(shù)的二次項系數(shù)為a₃，$\frac{{a}_{3}}{a}$=-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）先確定拋物線L的解析式，根據(jù)點B的縱坐標(biāo)為2，求出A和B的坐標(biāo)，計算AB的長，利用對稱性得出BC的長，所以AC=2AB=4$\sqrt{2}$；
（2）作輔助線：過B作BK⊥x軸于K，設(shè)OK=t，得出G（4t，0），設(shè)拋物線L₃的解析式，并將B點的坐標(biāo)代入可求得比值．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，拋物線L的解析式為：y=x²，
當(dāng)y=2時，2=x²，
∴x=±$\sqrt{2}$，
∵B在第一象限，
∴A（-$\sqrt{2}$，2），B（$\sqrt{2}$，2），
∴AB=2$\sqrt{2}$，
∵向右平移拋物線L使該拋物線過點B，
∴AB=BC=2$\sqrt{2}$，
∴AC=4$\sqrt{2}$；
（2）如圖2，設(shè)拋物線L₃與x軸的交點為G，其對稱軸與x軸交于Q，過B作BK⊥x軸于K，
設(shè)OK=t，則AB=BC=2t，
∴B（t，at²），
根據(jù)拋物線的對稱性得：OQ=2t，OG=2OQ=4t，
∴O（0，0），G（4t，0），
設(shè)拋物線L₃的解析式為：y=a₃（x-0）（x-4t），
y=a₃x（x-4t），
∵該拋物線過點B（t，at²），
∴at²=a₃t（t-4t），
∵t≠0，
∴a=-3a₃，
∴$\frac{{a}_{3}}{a}$=-$\frac{1}{3}$，
故答案為：（1）4$\sqrt{2}$；（2）-$\frac{1}{3}$．

點評 本題是二次函數(shù)圖象與平移問題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和平移的原則及二次函數(shù)的軸對稱性，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．