Question

16．已知拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過(guò)A（1，$\frac{5}{4}$），B（2，0）和C三個(gè)點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式，并在圖示坐標(biāo)系中畫(huà)出拋物線的大致圖象；
（2）在對(duì)稱軸l上是否存在一點(diǎn)P，使△PAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法求解可得，繼而根據(jù)函數(shù)解析式可得其函數(shù)圖象；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得其最小值是點(diǎn)P為AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即點(diǎn)P位于AC上，不構(gòu)成三角形，故不存在這樣的點(diǎn)．

解答 解：（1）把A（1，$\frac{5}{4}$），B（2，0）代入y=ax²+bx+2得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+2=\frac{5}{4}}\\{4a+2b+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所有拋物線解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+2，
因?yàn)閥=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+2=-$\frac{1}{4}$（x+1）²+$\frac{9}{4}$，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，$\frac{9}{4}$），
當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+2=0，解得x₁=-4，x₂=2，則C（-4，0），
如圖，


（2）這樣的點(diǎn)P不存在，
∵△PAC的周長(zhǎng)=PA+PC+AC，
AC的長(zhǎng)度一定，若要使△PAC的周長(zhǎng)最小，則需使PA+PC最小，
而點(diǎn)A、C位于對(duì)稱軸l的兩側(cè)，其最小值是點(diǎn)P為AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即點(diǎn)P位于AC上，不構(gòu)成三角形，
∴不存在這樣的點(diǎn)P．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱解決最短路線問(wèn)題和用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．