Question

6．已知關于x的方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）小明同學說：“無論k取何實數，方程總有實數根．”你認為他說的有道理嗎？為什么？
（2）若等腰三角形的一邊長a=1，另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）先計算出△=（k+2）²-4•2k=（k-2）²，然后根據非負數的性質和根的判別式的意義判斷方程根的情況；
（2）分a為腰與a為底兩種情況，求出方程的解確定出b與c，即可求出周長．

解答 解：（1）小明同學說的有道理．理由如下：
∵方程x²-（k+2）x+2k=0的判別式△=（k+2）²-8k=（k-2）²≥0，
∴無論k取何值時，這個方程總有實數根，
∴小明同學說的有道理；
（2）若a=1是腰，則x=1為已知方程的解，
將x=1代入方程得：k=1，即方程為x²-3x+2=0，
解得：x=1或x=2，
此時三角形三邊為1，1，2，不合題意，舍去；
若a=1是底時，b=c為腰，即k=2，方程為x²-4x+4=0，
解得：x₁=x₂=2，
此時b=c=2，即三角形三邊長為1，2，2，周長為1+2+2=5．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：①當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；②當△=0，方程有兩個相等的實數根；③當△＜0，方程沒有實數根．也考查了三角形三邊的關系．