Question

14．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AC²=AB•AD，∠ADC=90°，E為AB的中點．
（1）求證：△ADC∽△ACB；
（2）CE與AD有怎樣的位置關系？試說明理由；
（3）若AD=4，AB=6，求$\frac{AC}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似進行求解；
（2）根據∠EAC=∠ECA，∠DAC=∠CAE，即可得出∠DAC=∠ECA，進而得到CE∥AD；
（3）先根據∠FCE=∠DAC，∠CEF=∠ADF，判定△CEF∽△ADF，即可得出$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CE}{AD}$=$\frac{3}{4}$，進而得到$\frac{AC}{AF}$=$\frac{7}{4}$．

解答 解：（1）∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
又∵AC²=AB•AD，
∴AD：AC=AC：AB，
∴△ADC∽△ACB；

（2）CE∥AD，
理由：∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
又∵E為AB的中點，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAE，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；

（3）∵AD=4，AB=6，CE=$\frac{1}{2}$AB=AE=3，
∵CE∥AD，
∴∠FCE=∠DAC，∠CEF=∠ADF，
∴△CEF∽△ADF，
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CE}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AC}{AF}$=$\frac{7}{4}$．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質的運用，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據基本圖形對圖形進行分解、組合．