Question

14．在直角△ABC中，AC=6，E在AC邊上，滿足CE=2AE，D為斜邊AB的中點，F是線段BC上一動點，滿足∠EDF=90°，則BF-FC的最大值是（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 當點C與F重合時，BF-FC的值最大=BC，根據已知條件得到AE=2，CE=4，由D為斜邊AB的中點，得到AD=CD=BD，根據直角三角形的性質得到∠A=∠ACD，∠B=∠BDF，得到DE=AE=2，根據勾股定理得到CD=$\sqrt{C{E}^{2}-D{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，于是得到結論．

解答 解：如圖，∵F是線段BC上一動點，
∴當點C與F重合時，BF-FC的值最大=BC，
∵AC=6，CE=2AE，
∴AE=2，CE=4，
∵D為斜邊AB的中點，
∴AD=CD=BD，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BDF，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠BDF=90°，
∴∠A=∠ADE，
∴DE=AE=2，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}-D{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2CD=4$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$．
∴BF-FC的最大值是2$\sqrt{3}$，
故選B．

點評 本題考查了軸對稱-最短距離問題，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，確定當點C與F重合時，BF-FC的值最大是解題的關鍵．