Question

19．已知：二次函數y=mx²+2mx-3m的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在左，點B在右），與y軸交于點C（m＞0），頂點為D．當m取何值時，以A、D、C三點為頂點的三角形與△OBC相似？

Answer 1

分析 分兩種情形討論即可：①當∠ACD=90°時，作DH⊥OC于H．由△AOC∽△CHD，推出$\frac{OA}{CH}$=$\frac{OC}{DH}$，可得$\frac{3}{m}$=$\frac{3m}{1}$，解得m=1或-1（舍棄），由此即可判斷．②當∠ADC=90°時，作DH⊥OC于H，AE⊥DH于E．由△AED∽△DHC，可得$\frac{AE}{DH}$=$\frac{DE}{CH}$，可得$\frac{4m}{1}$=$\frac{2}{m}$，求得m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍棄），由此即可解決問題．

解答 解：①當∠ACD=90°時，作DH⊥OC于H．

由題意可知A（-3，0），B（1，0），C（0，-3m），D（-1，-4m），
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠DCH=90°，
∴∠CAO=∠DCH，∵∠AOC=∠DHC=90°，
∴△AOC∽△CHD，
∴$\frac{OA}{CH}$=$\frac{OC}{DH}$，
∴$\frac{3}{m}$=$\frac{3m}{1}$，
∴m=1或-1（舍棄），
∴C（0，-3），D（-1，-4），
∴OA=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{OC}{OB}$=3，
∴$\frac{AC}{OC}$=$\frac{CD}{OB}$，∵∠ACD=∠BOC=90°，
∴△BOC∽△DCA．
②當∠ADC=90°時，作DH⊥OC于H，AE⊥DH于E．

由△AED∽△DHC，可得$\frac{AE}{DH}$=$\frac{DE}{CH}$，
∴$\frac{4m}{1}$=$\frac{2}{m}$，
∴m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍棄），
∴AE=2$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{3}$，DC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
顯然此時△ADC與△OBC不相似．
綜上所述，m=1時，以A、D、C三點為頂點的三角形與△OBC相似．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、拋物線與坐標軸的交點問題、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．